• 9299.net
    大学生考试网 让学习变简单
    当前位置:首页 >> 理学 >>

    数值分析学习公式总结

    数值分析学习公式总结

    第一章 1 霍纳(Horner)方法:
    an a n?1 an?2

    …… a2

    a1

    a0

    输入=c +
    bn bn *c bn ?1 bn ?1 * c bn ? 2 b3 * c

    b2 * c b1

    b1 * c
    b0

    b2

    Answer

    P(x)= b0 P ( x )

    该 方 法 用 于 解 决 多 项 式 求 值 问 题 = an x n + a n?1 x n?1 + a n? 2 x n?2 +……+ a2 x 2 + a 1 2
    ? 注: p 为近似值
    x

    + a0

    绝对误差: 相对误差:

    ? E p =| p ? p |

    Rp =

    ? | p? p| | p|

    ? | p ? p | 101?d < Rp = | p| 2 有效数字:

    (d 为有效数字,为满足条件的最大整数) 3 Big Oh(精度的计算):

    O(h?)+O(h?)=O(h?); O(hm)+O(hn)=O(hr) [r=min{p,q}]; O(hp)O(hq)=O(hs) 第二章 2.1 求解 x=g(x)的迭代法 用迭代规则 ,可得到序 [s=q+p];

    列值{ }。 设函数 g 满足 y 定义在 得 定理 2.3 (iii) 。如果对于所有 x , 则函数 g 在 ,映射 y=g(x)的范围 此外,设

    内有一个不动点;

    内,且对于所有 x ,则函数 g 在 设有(i)g,g’

    ,存在正常数 K<1,使

    内有唯一的不动点 P。 ,(ii)K 是一个正常数, 。如果对于所有

    如果对于所有 x



    这种情况下,P 成为排斥不动点,而且迭代显示出局部发散 性。 波 理 尔 查 . 诺 二 分 法 ( 二 分 法 定 )

    <收敛速度?#19979;?gt; 试值(位)法:<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a)) 和(b,f(b))的割线 L 与 x 轴的交点(c,0)>应注意 越来越

    小,但可能不趋近于 0,所以二分法的终止判别条件不适合 于试值法.
    牛顿—拉夫森迭代函数: p k = g ( p k ?1 ) = p k ?1 ?

    f ( p k ?1 ) 其中 k=1,2,……证明: 用 f ' ( p k ?1 )

    泰勒多项式证明

    第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组 Ax=b

    a11x1 + a 12 x 2 + ? + a1n x n = b1 a 21x1 + a 22 x 2 + ? + a 2 n x n = b 2 ? a n1x1 + a n 2 x 2 + ? + a nn x n = b n

    一 Gauss Elimination (高斯消元法
    第 一 步 Forward Elimination


    Back

    第二步

    Substitution

    二 LU Factorization
    第一步 A = LU
    第二步 第三步 原方程变为 LUx=y ; 令 Ux=y,则 Ly = b ?#19978;?#19977;角解出 y; Ux=y,又上三角解出 x ;

    三 Iterative Methods(迭代法)
    a11x1 + a 12 x 2 + ? + a 1n x n = b1 a 21x1 + a 22 x 2 + ? + a 2 n x n = b 2 ?

    初始值

    0 0 0 x1 , x2 ,?, xn

    四 Jacobi Method
    1.选择初始值 2.迭代方程为

    0 0 0 x1 , x2 ,?, xn

    k k b1 ? (a12 x2 + ? + a1n xn ) k x1 +1 = a11 k k b2 ? (a21x1 + ? + a2n xn ) k x2 +1 = a22

    ?
    k k k bn ? ( an1x1 + an 2 x2 + ? + ann ?1xn ?1 ) k xn +1 = ann

    五 Gauss Seidel Method
    1.迭代方程为
    k +1 1 k k b1 ? (a12 x2 + ? + a1n xn ) = a11 k b2 ? (a21 x1k +1 + ? + a2 n xn ) = a22

    x x

    k +1 2

    ?
    k +1 k +1 k +1

    2.选择初始值 判断是否能用

    0 0 0 x1 , x2 ,?, xn

    Jacobi Method 或者 Gauss

    Seidel Method 的充分条件(绝对对角占 优原则)
    第四章 插值与多项式逼近

    ·第一节 泰勒级数和函数计算

    一些常用函数的泰勒级数展开:
    for all x for all x for all x -1 -1 for

    定理 4.1(泰勒多项式逼近) 设 定值。如果 则有 ,

    ,而

    是固

    其中

    为用来近似

    的多项式:

    误差项

    形如

    C为x和 推论 4.1

    之间的某个值 如果



    为定理 4.1 给出的 N 次泰勒多项式,则 = 其中 k=0,1,···,N 在包含 的区间(a , b)中是

    定理 4.2(泰勒级数) 设

    解析的。 设泰勒多项式 趋近于一个极限

    则 f(x)有泰勒级数展开

    ·第二节 插值计算 第二节 插值计算

    假设函数

    在 N+1 个点( , ),···,( , )处的值

    已知,其中值 在区间 上,并满足 , 可以构造经过这 N+1 个点的 N 次多项式 , 这种构造只需知

    道 和 的数值,而不需要高 阶导数值。可在整个区间 上用多项式 来逼近 。然而,

    如果需要知道误差函数 ,则需要知道 及其值的范围,即

    统计和科学分析中经常出现函数

    只在 N+1 个点( , )

    处已知的情况,因此需要 一种求 在其他点上的近似值的方法。如果已知值存在显著 误差,则应该考虑第 5 章中的 曲线拟合方法。而如果?#20998;?, )具有高精度,则应该考 虑构造经过这些点的多项式函 数 。当 时,近似值 称为“内插值”

    (interpolated value);当 或 时, 称为“外插值”(extrapolated value)。 在数值差分、数值积分以及绘 制过给定点的曲线的软件算法中,都有用多项式来计算函数 的近似值的情况。

    ·第三节 拉格朗日逼近 第三节

    拉格朗日多项式

    过 N+1 个点( , ),···,( , )的

    次数最高为 N 的多项式 其中 的基于节点 (1) 的拉格朗日系数多项式。很容易看出, 和 不出现

    在式(1)的右端。引入乘式表示法,式(1)可写为

    定 理 4.3 ( 拉 格 朗 日 多 项 式 逼 近 ) 为 N+1 个节点。如果

    设 ,则

    ,且

    其中

    是可以逼近

    的多项式:

    误差项

    形如

    为区间

    内的某个值。 设 定义 及其直

    定理 4.4(等距节点拉格朗日多项式的误差界) 在 上,其中包含等距节点 , ,并设 和 ,

    到 N+1 阶导数分别在子区间 即,对 N=1,2,3,有

    上连续有界,

    其中 对应于 N=1,2 和 3,误差项式 当 当 当 精度与 当 h 趋近于 0 时, 具有如下的界: 时有效 时有效 时有效 收敛于 0 的速度与 的误差界可

    收敛于 0 的速度相同。用 表示为

    表示,

    当 用 数,即 代替上式中的

    时有效

    ,表示误差项的界大致为 的倍

    ·第四节 牛顿多项式 第四节

    牛顿多项式

    多项式

    称为具有 N 个中心 可由 通过递归关系

    的牛顿多项式,其中多项式

    得到。 其最高次项为

    , 次数小于等于 N。

    定义 4.1

    函数

    的差商定义为:

    构造高次差商的递归公式为

    定理 4.5(牛顿多项式)

    设 , , , 是区间

    内 N+1

    个不同的数,存在唯一的至多 N 次的多项式 其中 j=0,1, ,N 该多项式的牛顿形式为

    ,具有性质

    其中

    ,

    。 的差商表

    推论 4.2 (牛顿多项式) 设 项式,并用来逼近函数 ,即

    是定理 4.5 中给出的牛顿多

    如果

    ,则对每个 ,使得误差项形如

    ,对应地存在

    内的数

    第五章 曲线拟合 感想:就是给你一堆数据点,求出一条拟合曲线
    最小二乘曲线 一、 最小二乘曲线 (1) 误差 ) 误差: 最大误差: 最大误差: E ∞(f ) = max {| f (x k ) ? y k |}
    1≤ k ≤ N

    平均误差: 平均误差: E 1(f ) =

    1

    N

    ∑ | f(x k ) ? y k | k
    =1

    N

    均方根误差: 均方根误差: E 2(f ) = ( (2) 最小二?#22235;?#21512;线 )

    1

    N

    ∑ | f(x k ) ? y k k
    =1

    N

    |)1 / 2

    2 (∑ x k )A + (∑ x k )B =

    N

    N

    k =1 N

    k =1

    ∑ xky k k
    =1

    N

    (∑ x k )A + NB =
    k =1

    ∑ yk k
    =1

    N

    (3) 最小二乘抛物线拟合 )
    4 3 2 (∑ x k )A + (∑ x k )B + (∑ x k ) = C

    N

    N

    N

    k =1

    k =1

    k =1

    ∑ y kxk k
    =1

    N

    2

    3 2 (∑ x k )A + (∑ x k )B + (∑ x k ) = C

    N

    N

    N

    k =1 N

    k =1 N

    k =1

    ∑ ykxk k
    =1

    N

    2 (∑ x k )A + (∑ x k )B + NC =

    k =1

    k =1

    ∑ yk k
    =1

    N

    (4) 幂函数拟合 )
    2 A = (∑ x y k ) /(∑ x k M )

    N

    M k

    N

    k =1

    k =1

    (5) )

    y = Ce Ax 的线性化
    令Y = ln(y ),X = x ,B = ln(C )原方程则化为Y = AX + B

    二、 样条函数插值 (1) 求线性样条函数: ) 求线性样条函数:

    d k = (y k +1 ? y k ) /(x k +1 ? x k ) S k(x)= y k + d k(x ? x k )
    (2) 求三次样条曲线 )

    x k ≤ x ≤ x k +1

    等间距方法: 先求间距 h
    h = x 2 ? x 1 = ? = x n ? x n ?1
    + 4M i +1 + M i + 2 = 6(y i ? 2y i +1 + y i + 2 )

    列方程求解 Mi M i
    1≤i ≤ n ?2

    h2

    端点约 束 时用到 的 公式 求出系 数

    M i = s "(x i)
    s i'(x k)= ? Mi
    3

    1≤i ≤ n

    h ?

    M i +1
    6

    h +

    (y i +1 ? y i )

    h

    1 ≤ i ≤ n ?1

    ai = (M i +1 ? M i ) /(6h ) bi = M i / 2 ci = (y i +1 ? y i ) / h ? (M i +1 + 2M i )h / 6 di = yi
    1 ≤ i ≤ n ?1

    得到三次样条曲线函数:

    si(x ) = ai(x ? x i )3 + bi(x ? x i )2 + ci(x ? x i ) + d i
    1 ≤ i ≤ n ?1

    因为太多,不知道以下内容需不需要 非等间距方法: 步骤: 1)分别求出所有的 hk ,d k ,u k
    hk = x k +1 ? x k

    k = 0, , ? ,N ? 1 12 k = 0, , ? ,N ? 1 12 k = 1, ? ,N ? 1 2

    dk = (

    y k +1 ? y k ) hk

    u k = 6(d k ? d k ?1 )

    2)看端点约束,列方程组求出 m k (1)natural 样条,即已知 S "(x 0)= 组:
    2 h0 +h 1)m 1 + h1m 2 = u 1 ( 0

    S "(x N )= 0 ,求方程

    hk ?1m k ?1 + 2(hk +1 +h k )m k + hk m k + 1 = u k hN ? 2 m N ? 2 + 2(hN ? 2 +h N ?1)m N ?1 = u N ?1

    其中 k

    = 2 ? ,N ? 2

    (2)紧压(clamped)样条,即已知 S '(x 0) 组:
    3 ( h0 + 2h 1)m 1 + h1m 2 = u 1 ? 3(d 0 ? S ' x 0 )) ( 2

    S ' x 0) ( ,求方程

    hk ?1m k ?1 + 2(hk + 1 +h k )m k + hk m k + 1 = u k

    其中 k

    = 2 ? ,N ? 2

    hN ? 2 m N ? 2 + (2h N ? 2+

    3 hN ?1 )m N ?1 = u N ?1 ? 3(S '(x N ) ? d N ?1 ) 2

    (3)其它情况(包括以上两种情况)可以根据以下三条 公式推出
    S k'(x k)= ? mk
    3

    hk ?

    m k +1
    6

    hk + d k

    S k"(x)= m k
    hk ?1m k ?1 + 2(hk ?1 + hk )m k + hk m k +1 = u k

    3)根据求出的 m 求系数
    s k ,0 = y k
    s k ,1 = d k ? s k ,2 = mk
    2

    hk(2m k + m k + 1 )
    6

    s k ,3 =

    m k +1 ? m k 6hk
    x k ≤ x ≤ x k +1

    1) 最后求出三次样条函数 )

    S k(x)= s k ,3(x ? x k )3 + s k ,2(x ? x k )2 + s k ,3(x ? x k ) + y k

    k = 0, , ? ,N ? 1 12

    数据线性化

    曲线 y
    N k =1 N

    = a m x m + a m ? 1x m ? 1 + ? + a1x + a 0 的正规方程
    N N N N

    ∑ am xk2m + ∑ am?1 xk2m?1 + ? + ∑ a1 xkm+1 + ∑ a0 xkm = ∑ yk xkm
    k =1 k =1 k =1 N k =1

    ∑ am xk2m?1 + ∑ am?1 xk2m?2 + ? + ∑ a1 xkm + ∑ a0 xkm?1 = ∑ yk xkm?1
    k =1 k =1 k =1 k =1 k =1

    N

    N

    N

    ?

    ∑a
    k =1

    N

    m m k

    x + ∑ am?1 xkm?1 + ? + ∑ a1 xk + Na0 = ∑ yk
    k =1 k =1 k =1

    N

    N

    N

    第七章 积分公式:



    b

    a

    f ( x )dx ≈ ∑ c i f ( x i ) = c 0 f ( x 0 ) + c 1 f ( x 1 )
    i =0

    1

    =

    h [ f ( x 0 ) + f ( x 1 )] 2

    1 Simpson’s 1/3-Rule



    b

    a

    f(x)dx =

    h [ f(x0 ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] 3

    Simpson’s 3/8-Rule



    b

    a

    f(x)dx ≈ ∫ L(x)dx ; h =
    a

    b

    b-a 3

    =

    3h [ f ( x 0 ) + 3 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 )] 8

    3 Composite Trapezoid Rule(其他的几个公式就按照 Composite Trapezoid Rule 把 1/3 公式,3/8 公式做多次 累加就可以)

    ∫ f(x)dx
    a

    b

    =

    h
    2

    [f(x

    0

    ) + 2f(x1 ) + ? + 2f(xi ) + ? + 2f (x n ? 1 ) + f (x n )]

    4 Romberg Integration (利用此式列出倒三角形图案)
    I j ,k =
    4 k I j + 1,k ? 1 ? I j ,k ? 1 4k ? 1 ; k = 1, 2, 3,?

    第九章

    常微分方程,形如

    dy = f (t , y ) ; y (t0 ) = y0 dt

    欧拉法(Euler’s method) yi +1 = yi + φ h (为导数,h 是步长) : 误差分析:

    休恩法(Heun’s method) y i0+1 = y i + f (t i , y i ) h : Predictor(预测) yi +1 = yi + :

    f (ti , yi ) + f (ti +1 , yi0+1 ) h 2

    Corrector(校正)(可多步校正) :

    y10 = y0 + f (t0 , y0 ) h
    1 y1 = y0 +

    f (t0 , y0 ) + f (t1 , y10 ) h 2
    1 f (t0 , y0 ) + f (t1 , y1 ) h 2

    y12 = y0 +
    …… ( t i +1 = t i + h ) 误差分析:

    Global discretization error(全局变量): ek = y (tk ) ? yk = O h

    ( )
    2

    Local discretization error:(局部变量) ∈k +1 = y (tk +1 ) ? yk ? hφ (tk , yk ) = O h Final global error(F.G.E.)(最终全局变量): E ( y (b ), h ) = y (b ) ? y M = O h

    ( )
    3

    ( )
    2

    h yi +1/ 2 = yi + f (ti , yi ) ; yi′+1/ 2 = f (ti +1/ 2 , yi +1/ 2 ) 中点法(Midpoint method) : 2 yi +1 = yi + f (ti +1/ 2 , yi +1/ 2 )h
    Runge-Kutta method(龙格库塔方法) :

    yi +1 = y i + φ h

    φ = a1k1 + a 2 k 2 + ? + a n k n
    yi +1 = yi + φ h

    φ = a1k1 + a2 k 2 + ? + an k n
    ? k1 = ? ?k 2 = ? ? k3 = ? ? ? ?k n = ? f (t i , y i ) f (ti + p1h, yi + q11k1h) ……………… p1 = q11 f (ti + p2 h, yi + q21k1h + q22 k 2 h) …… p2 = q21 + q22 f (ti + pn ?1h, yi + qn ?1,1k1h + qn ?1, 2 k 2 h + ? + qn ?1,n ?1kn ?1h) …… pn ?1 = qn ?1,1 + qn ?1, 2 + ? + qn ?1, n ?1

    a1 + a2 + ? + an =1
    Second order Runge-Kutta method(二阶龙格库塔方法) :

    yi +1 = yi + (a1k1 + a2 k 2 )h ?k1 = f (ti , yi ) ? ?k 2 = f (ti + p1h, yi + q11k1h)
    k1 = f (ti , y i ) k 2 = f (ti + k3

    ?a1 + a2 = 1 ? ?a2 p1 = 1 / 2 ?a q = 1 / 2 ? 2 11

    Classical Third-order Runge-Kutta Method(经典三阶龙格库塔方法) :
    1 1 h, yi + k1h ) 2 2 = f (ti + h , y i ? k1h + 2 k 2 h )

    3rd-Order Heun Method (三阶休恩):
    ? ? k1 = f (ti , y ? ? ? k 2 = f (ti + ? ? ? k 3 = f (ti + ?
    i

    ) 1 1 h, yi + k 1h ) 3 3 2 2 h, yi + k2h) 3 3

    Classical 4th-order Runge-Kutta Method:

    ? k1 ? ?k2 ? ? ?k ? 3 ?k ? 4

    = f (ti , y i ) 1 1 h, yi + k1h ) 2 2 1 1 = f (ti + h, yi + k2h) 2 2 = f (ti + h , y i + k 3h ) = f (ti + 1 (k1 + 2 k 6
    2

    y i+1 = y i +

    + 2 k3 + k 4 )h

    System of Two first-order ODEs Euler’s Method(一阶欧拉常微分方程组):

    ? y1,i +1 = y1,i + hf1 (ti , y1,i , y 2,i ) ? ? y2 ,i +1 = y 2,i + hf 2 (ti , y1,i , y 2,i )


    推荐相关:
    网站首页 | 网站地图
    All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
    文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。[email protected]
    安徽十一选五走势