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    数值分析学习公式总结

    数值分析学习公式总结

    第一章

    1 霍纳(Horner)方法:

    an
    输入=c

    a n ?1

    a n?2

    …… a2

    a1

    a0

    +
    bn

    bn *c
    b n ?1

    bn?1 * c bn?2

    b3 * c b2

    b2 * c b1

    b1 * c b0

    Answer P(x)= b0 该方法用于解决多项式求值问题 P(x)

    = + + +……+ + + an x n an?1 x n?1 an?2 x n?2

    a2 x 2 a1 x a0

    2 注: p? 为近似值

    绝对误差: Ep ?| p ? p? |

    相对误差:

    Rp

    ?

    |

    p |

    ? p

    p? |

    |

    | p ? p? | 101?d

    Rp ?
    有效数字:

    | p|

    ?

    2

    (d 为有效数字,为满足条件的最大整数) 3 Big Oh(精度的计算): O(h?)+O(h?)=O(h?); O(hm)+O(hn)=O(hr) [r=min{p,q}]; O(hp)O(hq)=O(hs) [s=q+p]; 第二章 2.1 求解 x=g(x)的迭代法 用迭代规则

    ,可得到序

    列值{ }。

    设函数 g

    。如果对于所有 x ,映射 y=g(x)的范围

    满足 y , 则函数 g 在 内有一个不动点; 此外,设

    定义在 内,且对于所有 x ,存在正常数 K<1,使



    ,则函数 g 在 内有唯一的不动点 P。

    定理 2.3 设有(i)g,g’ ,(ii)K 是一个正常数,

    (iii)

    。如果对于所有

    如果对于所有 x



    这种情况下,P 成为排斥不动点,而且迭代显示出局部发散

    性。

    .

    波尔查诺二分法(二分法定



    )

    <收敛速度?#19979;?gt;

    试值(位)法:<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))

    和(b,f(b))的割线 L 与 x 轴的交点(c,0)>应注意

    越来越

    小,但可能不趋近于 0,所以二分法的终止判别条件不适合

    于试值法.

    牛顿—拉夫森迭代函数: p k

    ?

    g( pk?1 ) ?

    pk ?1

    ?

    f ( pk?1 ) 其中 k=1,2,……证明:用 f ' ( pk?1 )

    泰勒多项式证明
    第三章线性方程组的解法
    对于给定的解线性方程组 Ax=b a11x1 ? a12x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 a 21x1 ? a 22x 2 ? ? ? a 2n x n ? b2 ? a n1x1 ? a n2x 2 ? ? ? a nn x n ? bn

    一 Gauss Elimination (高斯消元法 )

    第 一 步 Forward Elimination Substitution

    第 二 步 Back

    二 LU Factorization

    第一步 A = LU 原方程变为 LUx=y ; 第二步 令 Ux=y,则 Ly = b ?#19978;?#19977;角解出 y; 第三步 Ux=y,又上三角解出 x ;

    三 Iterative Methods(迭代法)

    a11x1 ? a12x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 a 21x1 ? a 22x 2 ? ? ? a 2n x n ? b2 ?

    初始值

    x10, x20,?, xn0

    四 Jacobi Method

    1.选择初始值 x10, x20,?, xn0
    2.迭代方程为

    x1k ?1 ?

    b1 ? (a12x2k ? ? a11

    ? a1nxnk )

    x2k ?1

    ?

    b2 ? (a21x1k ? ? a22

    ? a2n xnk )

    ?

    xnk ?1

    ?

    bn ? (an1x1k

    ?

    an2x2k ? ann

    ?

    ? ann?1xnk?1)

    五 Gauss Seidel Method

    1.迭代方程为

    x1k ?1 ? x2k ?1 ?
    ?

    b1 ? (a12 x2k ? ? ? a1n xnk ) a11
    b2 ? (a21x1k ?1 ? ? ? a2n xnk ) a22

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    2.选择初始值

    x10, x20,?, xn0

    判断是否能用 Jacobi Method 或者 Gauss

    Seidel Method 的充分条件(绝对对角占

    优原则)

    第四章 插值与多项式逼近
    ·第一节 泰勒级数和函数计算
    一些常用函数的泰勒级数展开:

    for all x

    for all x

    for all x

    -1

    -1

    for

    定理 4.1(泰勒多项式逼近) 设

    定值。如果



    则有

    其中 为用来近似 的多项式:

    ,而

    是固

    误差项 形如

    C 为 x 和 之间的某个值 。

    推论 4.1 如果 为定理 4.1 给出的 N 次泰勒多项式,则

    =

    其中 k=0,1,···,N

    定理 4.2(泰勒级数) 设 在包含 的区间(a , b)中是

    解析的。设泰勒多项式

    趋近于一个极限

    则 f(x)有泰勒级数展开

    ·第二节 插值计算

    假设函数 在 N+1 个点( , ),···,( , )处的值

    已知,其中值 在区间

    上,并满足



    可以构造经过这 N+1 个点的 N 次多项式 ,这种构造只需知

    道 和 的数值,而不需要高

    阶导数值。可在整个区间 上用多项式 来逼近 。然而,

    如果需要知道误差函数

    ,则需要知道

    及其值的范围,即

    统计和科学分析中经常出现函数 只在 N+1 个点( , )

    处已知的情况,因此需要

    一种求 在其他点上的近似值的方法。如果已知值存在显著

    误差,则应该考虑第 5 章中的

    曲线拟合方法。而如果?#20998;?, )具有高精度,则应该考

    虑构造经过这些点的多项式函



    。当

    时,近似值 称为“内插值”

    (interpolated value);当



    时, 称为“外插值”(extrapolated value)。

    在数值差分、数值积分以及绘

    制过给定点的曲线的软件算法中,都有用多项式来计算函数

    的近似值的情况。

    ·第三节 拉格朗日逼近
    拉格朗日多项式 过 N+1 个点( , ),···,( , )的 次数最高为 N 的多项式
    其中 的基于节点 (1)

    的拉格朗日系数多项式。很容易看出, 和

    不出现

    在式(1)的右端。引入乘式表示法,式(1)可写为

    定 理 4.3 ( 拉 格 朗 日 多 项 式 逼 近 ) 设

    为 N+1 个节点。如果

    ,则

    其中 是可以逼近 的多项式:

    误差项 形如

    ,且

    为区间 内的某个值。

    定理 4.4(等距节点拉格朗日多项式的误差界) 设 定义

    在 上,其中包含等距节点

    ,并设 , 及其直

    到 N+1 阶导数分别在子区间 , 和 上连续有界,

    即,对 N=1,2,3,有

    其中 对应于 N=1,2 和 3,误差项式 具有如下的界:



    时有效



    时有效



    时有效

    精度与

    当 h 趋近于 0 时, 收敛于 0 的速度与

    收敛于 0 的速度相同。用 表示,

    的误差界可

    表示为



    代替上式中的

    数,即



    时有效

    ,表示误差项的界大致为 的倍

    ·第四节 牛顿多项式
    牛顿多项式 多项式

    称为具有 N 个中心 可由 通过递归关系

    的牛顿多项式,其中多项式

    得到。其最高次项为

    ,次数小于等于 N。

    定义 4.1 函数 的差商定义为:

    构造高次差商的递归公式为

    定理 4.5(牛顿多项式) 设 , , , 是区间 内 N+1 个不同的数,存在唯一的至多 N 次的多项式 ,具有性质
    其中 j=0,1, ,N 该多项式的牛顿形式为

    其中

    ,



    的差商表

    推论 4.2(牛顿多项式) 设 是定理 4.5 中给出的牛顿多 项式,并用来逼近函数 ,即

    如果

    ,则对每个

    ,对应地存在

    ,使得误差项形如

    第五章 曲线拟合

    感想:就是给你一堆数据点,求出一条拟合曲线

    一、 最小二乘曲线 (1) 误差:

    最大误差: E?(f )

    ?

    max{|
    1?k ?N

    f(xk

    )

    ?

    yk

    |}

    ? 平均误差: E1(f ) ?

    1 N

    N
    | f(xk ) ? y k
    k ?1

    |

    ? 均方根误差: E

    2(f

    )

    ?

    (1 N

    N
    | f(x k ) ? y k
    k ?1

    |)1 / 2

    (2) 最小二?#22235;?#21512;线

    N

    N

    N

    ? ? ? (

    x

    2 k

    )A

    ?(

    x k )B ?

    xkyk

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    N

    N

    (? xk )A ? NB ? ? y k

    k ?1

    k ?1

    (3) 最小二乘抛物线拟合

    N

    N

    N

    N

    ? ? ? ? (

    x

    4 k

    )A

    ?(

    x

    3 k

    )B

    ?(

    x

    2 k

    )C

    ?

    y

    k

    x

    2 k

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    内的数

    N

    N

    N

    N

    ? ? ? ? (

    x

    3 k

    )A

    ?(

    x

    2 k

    )B

    ?(

    x k )C ?

    ykxk

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    N

    N

    N

    (?

    x

    2 k

    )A

    ? (?

    x k )B

    ? NC

    ? ? yk

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    (4) 幂函数拟合

    N

    N

    ? ? A ? (

    x

    M k

    y

    k

    )

    /(

    x

    2 k

    M

    )

    k ?1

    k ?1

    (5) y ? Ce Ax 的线性化

    令Y ? ln(y ),X ? x,B ? ln(C )原方程则化为Y ? AX ? B
    二、 样条函数插值 (1) 求线性样条函数:
    d k ? (y k ?1 ? y k ) /(x k ?1 ? x k )

    S k(x)? y k ? d k(x ? xk )
    (2) 求三次样条曲线
    等间距方法:

    xk ? x ? xk ?1

    先求间距 h h ? x2 ? x1 ? ? ? xn ? xn ?1

    列方程求解 Mi M i

    ? 4M i ?1

    ?

    M i?2

    ?

    6(y i

    ? 2y i ?1 h2

    ? yi?2)

    1?i ?n ?2

    端 点 约 M i ? s "(x i) 1 ? i ? n



    si'(x k)?

    ?

    Mi 3

    h

    ?

    M i ?1 6

    h

    ?

    (yi ?1 ? h

    yi )

    时 用 到 ai ? (M i ?1 ? M i )/(6h)



    bi ? M i / 2

    求公出式系 ci ? (yi ?1 ? yi )/ h ? (M i ?1 ? 2M i )h / 6

    1 ?i ? n ?1 1 ?i ? n ?1



    di ? yi

    得到三次样条曲线函数:

    si(x ) ? ai(x ? xi )3 ? bi(x ? xi )2 ? ci(x ? xi ) ? di 1 ?i ? n ?1

    因为太多,不知道以下内容需不需要

    非等间距方法:

    步骤:

    1)分别求出所有的 hk ,dk ,uk

    hk ? x k ?1 ? x k

    k ? 0,1,2 ? ,N ? 1

    dk

    ?

    (y k ?1 ? hk

    yk

    )

    k ? 0,1,2 ? ,N ? 1

    uk ? 6(d k ? d k ?1)

    k ? 1,2 ? ,N ? 1

    2)看端点约束,列方程组求出 mk

    (1)natural 样条,即已知 S "(x0)? 0 S "(xN)? 0 ,求方程

    组:

    2(h0 ?h1)m1 ? h1m2 ? u1

    hk ?1m k ?1 ? 2(hk ?1 ?h k )m k ? hk m k ?1 ? uk

    其中 k ? 2 ? ,N ? 2

    hN ?2m N ?2 ? 2(hN ?2 ?h N ?1)m N ?1 ? uN ?1

    (2)紧压(clamped)样条,即已知S '(x0) S '(x0),求方程

    组:

    (3 2

    h0

    ? 2h1)m1

    ? h1m2

    ?

    u1

    ? 3(d 0

    ? S '(x0 ))

    hk ?1m k ?1 ? 2(hk ?1 ?h k )m k ? hk m k ?1 ? uk

    其中 k ? 2 ? ,N ? 2

    hN ?2m N ?2

    ?

    (2h N

    ?2?

    3 2

    hN

    ?1 )m N

    ?1

    ? uN ?1

    ? 3(S '(x N ) ? d N ?1)

    (3)其它情况(包括以上两种情况)可以根据以下三条

    公式推出

    S k'(x k)?

    ?

    mk 3

    hk

    ?

    mk ?1 6

    hk

    ? dk

    S k"(x)? m k hk ?1m k ?1 ? 2(hk ?1 ? hk )m k ? hk m k ?1 ? uk
    3)根据求出的 m 求系数
    sk ,0 ? y k

    sk ,1

    ? dk

    ?

    hk(2mk ? mk ?1) 6

    sk ,2

    ?

    mk 2

    s k ,3

    ?

    mk ?1 ? mk 6hk

    1) 最后求出三次样条函数

    Sk(x)? sk,3(x ? xk )3 ? sk,2(x ? xk )2 ? sk,3(x ? xk ) ? yk

    xk ? x ? xk ?1

    k ? 0,1,2 ? ,N ? 1

    数据线性化

    曲线 y ? am x m ? am ?1x m ?1 ? ? ? a1x ? a0 的正规方程

    N

    N

    N

    N

    N

    ? ? ? ? ? amxk2m ?

    a x2m?1 m?1 k

    ?

    ?

    ?

    a1xkm?1 ?

    a0 xkm ?

    yk xkm

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    N

    N

    N

    N

    N

    ? ? ? ? ? am

    x 2 m?1 k

    ?

    a x2m?2 m?1 k

    ?? ?

    a1xkm ?

    a0

    x m?1 k

    ?

    yk

    x m?1 k

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    ?

    N

    N

    N

    N

    ? ? ? ? amxkm ?

    am?1

    x m?1 k

    ??

    ?

    a1xk ? Na0 ?

    yk

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    k ?1

    第七章

    积分公式:

    ? ? b

    1

    f ( x )dx ?
    a

    ci f ( xi ) ? c0 f ( x0 ) ? c1 f ( x1 )

    i?0

    ?

    h 2

    ?

    f

    (

    x0

    )?

    f ( x1

    )?

    1 Simpson’s 1/3-Rule

    ?b a

    f(x)dx ?

    h 3

    ?

    f(x0

    ) ? 4f(x1

    )?

    f(x2

    )?

    Simpson’s 3/8-Rule

    ? ? b f(x)dx ?

    b
    L(x)dx ;

    h? b-a

    a

    a

    3

    ?

    3h 8

    ?

    f

    (

    x0

    )? 3 f (

    x1

    )? 3 f ( x2

    )?

    f ( x3

    )?

    3 Composite Trapezoid Rule(其他的几个公式就按照

    Composite Trapezoid Rule 把 1/3 公式,3/8 公式做多次

    累加就可以)

    ? ? ? bf(x)dx ?
    a

    h 2

    f(x0 ) ? 2f(x1 ) ? ? ? 2f(xi ) ? ? ? 2f(x n ?1 ) ? f(x n )

    4 Romberg Integration (利用此式列出倒三角形图案)

    I j ,k

    ?

    I 4k j ?1,k ?1

    ? I j ,k ?1 ;

    4k ? 1

    k ? 1, 2,3,?

    第九章

    常微分方程,形如 dy ? f (t, y) ; dt

    y(t0 ) ? y0

    欧拉法(Euler’s method): yi?1 ? yi ? ? h (为导数,h 是步长)

    误差分析:

    休恩法(Heun’s method): yi0?1 ? yi ? f (ti , yi )h

    Predictor(预测): yi?1 ?

    yi ?

    f

    (ti ,

    yi ) ?

    f

    (ti?1,

    y0 i ?1

    )

    h

    2

    Corrector(校正):(可多步校正)

    y10 ? y0 ? f (t0 , y0 )h

    y11

    ?

    y0 ?

    f (t0 , y0 ) ? 2

    f (t1, y10 ) h

    y12

    ?

    y0 ?

    f (t0 , y0 ) ? 2

    f (t1, y11) h

    ……

    ( ti?1 ? ti ? h )
    误差分析:
    ? ? ? ? Global discretization error(全局变量): ek ? y tk ? yk ? O h2

    ? ? Local discretization error:(局部变量) ?k?1 ? y?tk?1? ? yk ? h??tk , yk ? ? O h3

    ? ? Final global error(F.G.E.)(最终全局变量): E?y?b?, h? ? y?b?? yM ? O h2

    中点法(Midpoint

    method): yi?1/ 2

    ?

    yi

    ?

    h f (ti , yi ) 2 ;

    yi??1/ 2 ? f (ti?1/ 2 , yi?1/ 2 )

    yi?1 ? yi ? f (ti?1/ 2 , yi?1/ 2 )h

    Runge-Kutta method(龙格库塔方法):

    yi?1 ? yi ? ? h ? ? a1k1 ? a2k2 ? ?? ankn

    yi?1 ? yi ? ? h ? ? a1k1 ? a2k2 ? ? ? ankn

    ? k1 ? f (ti , yi )

    ????kk23

    ? ?

    f (ti f (ti

    ? ?

    p1h, yi ? q11k1h)?????? p1 ? q11 p2h, yi ? q21k1h ? q22k2h)?? p2 ? q21 ? q22

    ? ?

    ?

    ??kn ? f (ti ? pn?1h, yi ? qn?1,1k1h ? qn?1,2k2h ? ? ? qn?1,n?1kn?1h)?? pn?1 ? qn?1,1 ? qn?1,2 ? ? ? qn?1,n?1

    a1 ? a2 ??? an =1
    Second order Runge-Kutta method(二阶龙格库塔方法):

    yi?1 ? yi ? (a1k1 ? a2k2 )h

    ???kk12

    ? ?

    f f

    (ti , yi ) (ti ? p1h,

    yi

    ?

    q11k1h)

    ???aa12

    ? a2 p1 ?

    ?1 1/ 2

    ??a2q11 ? 1/ 2

    Classical Third-order Runge-Kutta Method(经典三阶龙格库塔方法):

    k1 ? f (ti , yi )

    1

    1

    k2 ? f (ti ? 2 h, yi ? 2 k1h)

    k3 ? f (ti ? h, yi ? k1h ? 2k2h)

    3rd-Order Heun Method (三阶休恩):

    ?

    ??k1 ??k 2 ?

    ? ?

    f (ti , yi ) 1
    f (ti ? 3 h,

    yi

    ?

    1 3 k1h)

    ???k3 ?

    f

    (ti

    ?

    2 3

    h,

    yi

    ?

    2 3

    k2h)

    Classical 4th-order Runge-Kutta Method:

    ?k1 ? f (ti , yi )

    ?

    ?k ?

    2

    ?

    f

    (ti

    ?

    1 2

    h,

    yi

    ?

    1 2

    k1h)

    ? ??k3

    ?

    f

    (ti

    ?

    1 2

    h,

    yi

    ?

    1 2

    k2h)

    ??k4 ? f (ti ? h, yi ? k3h)

    yi ?1

    ?

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    System of Two first-order ODEs Euler’s Method(一阶欧拉常微分方程组):

    ? y1,i?1 ? y1,i ? hf1(ti , y1,i , y2,i )

    ? ?

    y2,i?1

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    y2,i

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    hf2 (ti ,

    y1,i ,

    y2,i )


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